Фильтры — это частотно-избирательные устройства, которые пропускают или задерживают сигналы, лежащие в определенных полосах частот.
Активные фильтры предполагают, что базой для их создания являются активные элементы – операционные усилители или реже транзисторы, благодаря чему становится возможным исключение индуктивных компонентов из частотно зависимых цепей.
Фильтры можно классифицировать по их частотным характеристикам, что в условном виде показано на рисунке, где изображены характеристики фильтра нижних частот(ФНЧ), фильтра высоких частот (ФВЧ), полосового фильтра (ПФ) и полосно-подавляющего фильтра (ППФ).
Основная функция любого фильтра заключается в том, чтобы ослабить сигналы, лежащие в определенных областях частот, внести в них различные фазовые сдвиги или ввести временную задержку между входным и выходным сигналами.
С помощью активных RC-фильтров нельзя получить идеальные формы частотных характеристик в виде показанных на рисунке прямоугольников с постоянным коэффициентом передачи в полосе пропускания, бесконечным ослаблением в полосе подавления и бесконечной крутизной спада при переходе от полосы пропускания к полосе подавления. Проектирование активного фильтра всегда представляет собой поиск компромисса между идеальной формой характеристики и сложностью ее реализации. Это называется “проблемой аппроксимации”. Во многих случаях требования к качеству фильтрации позволяют обойтись простейшими фильтрами первого и второго порядка. Проектирование фильтра в этом случае сводится к выбору схемы с наиболее подходящей конфигурацией и последующему расчету значений номиналов элементов для конкретных частот.
Передаточные функции фильтров
Активные RC-фильтры принадлежат к классу линейных схем с сосредоточенными параметрами. Передаточная функция линейной цепи n-го порядка с сосредоточенными параметрами описывается следующим выражением (порядок цепи определяется степенью полинома знаменателя):
T(s)=\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}=\displaystyle\frac{b_m\cdot s^m+b_{m-1}\cdot s^{m-1}+…+b_1\cdot s+b_0}{d_n\cdot s^n+d_{n-1}\cdot s^{n-1}+…+d_1\cdot s+d_0},
где s — оператор Лапласа;
N(s) — полином числителя;
D(s) — полином знаменателя;
bm…b0 — вещественные коэффициенты полинома числителя;
dn…d0 — вещественные коэффициенты полинома знаменателя:
T(s) — передаточная функция схемы.
Заметим, что для реальных схем n³m.
Полиномы N(s) и D(s) можно разложить на множители первого и второго порядков с вещественными коэффициентами. Следовательно, нужную характеристику можно получить, включив последовательно несколько фильтров первого и второго порядков. Рассмотрим далее передаточные функции таких фильтров:
Характеристика ФНЧ первого порядка описывается выражением:
T(s)=\displaystyle\frac{K_{НЧ}\cdot \omega_o}{s+\omega_o},
где КНЧ — коэффициент передачи на постоянном токе,
w0 — частота полюса, которая в данном случае равна частоте, на которой коэффициент передачи снижается на 3 дБ по сравнению с КНЧ.
Нормированным фильтром считается фильтр, у которого модуль коэффициента передачи в полосе пропускания равен 1, а частота среза соответствует 1 рад/с. У нормированного ФНЧ значения КНЧ и w0 равны 1, поэтому передаточная характеристика приобретает вид
T(s)=\displaystyle\frac 1{s+1}
Характеристика ФВЧ первого порядка описывается выражением
T(s)=\displaystyle\frac{K_{ВЧ}\cdot s}{s+\omega_o},
где КВЧ – коэффициент передачи на высоких частотах,
w0 — частота полюса, на которой коэффициент передачи снижается на 3 дБ по сравнению с КВЧ.
Для нормированного ФВЧ выражение приобретает вид
T(s)=\displaystyle\frac s{s+1}
Характеристика фазового фильтра (ФФ) первого порядка отличается тем, что коэффициент передачи этого фильтра имеет постоянное значение во всем частотном диапазоне, а изменяется лишь вносимый фазовый сдвиг (временная задержка).
Передаточная характеристика фазового фильтра первого порядка:
T(s)=\displaystyle\frac{K_{Ф}\cdot ({\omega_o-s)}}{\omega_o+s},
где КФ – модуль коэффициента передача,
w0 — частота, на которой фазовый сдвиг равен 90о.
Для нормированного ФФ выражение преобразуется как
T(s)=\displaystyle\frac{1-s}{1+s}
Логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики нормированных фильтров можно проанализировать моделированием с использованием программы LTspice
Характеристика ФНЧ второго порядка имеет вид:
T(s)=\displaystyle\frac{K_{НЧ}\cdot \omega_o^2}{s^2+\displaystyle\frac{\omega_o}{Q_f}\cdot s+\omega_o^2},
где КНЧ – коэффициент передачи на постоянном токе,
w0 — частота полюса,
Qf — добротность фильтра.
При Qf > 1/2 на амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) появляется выброс на частоте:
\omega_p=\omega_o\cdot\sqrt{1-\displaystyle\frac 1 {2\cdot Q_f^2}}, \omega_p\approx\omega_o при больших Q_f
Значение коэффициента передачи Kp на этой частоте:
K_p=\displaystyle\frac{K_{НЧ}\cdot Q_f}{\sqrt{1-\displaystyle\frac 1 {4Q_f^2}}} \approx K_{НЧ}\cdot Q_f, при больших Q_f,
причем частота среза по уровню –3дБ составляет:
\omega_{-3дБ}=\omega_o\cdot\sqrt{(1-\displaystyle\frac 1 {2Q_f^2})+\sqrt{(1-\displaystyle\frac 1 {2Q_f^2})^2-1}}.
Для ФНЧ при малых Qf (т.е. Qf < 1/2) полюса передаточной функции вещественные, и его АЧХ оказывается плоской, а выражение для характеристики второго порядка можно разложить на два сомножителя первого порядка.
Когда же Qf > 1/2 — на АЧХ появляется “выпуклость”. Амплитудно-частотная характеристика схем с большей добротностью имеет значительный выброс.
Для нормированного ФНЧ второго порядка выражение передаточной характеристики при переменной добротности примет вид
T(s)=\displaystyle\frac 1 {1+\displaystyle\frac 1 {Q_f}\cdot s+s^2}.
Характеристика ФВЧ второго порядка описывается выражением:
T(s)=\displaystyle\frac{K_{ВЧ}\cdot s^2}{s^2+\displaystyle\frac{\omega_o}{Q_f}\cdot s+\omega_o^2},
Где КВЧ – коэффициент передачи на высокой частоте,
w0 — частота полюса,
Qf — добротность фильтра.
Максимальный коэффициент передачи (в точке выброса) при больших значениях Qf равен КВЧ∙ Qf.
Выброс на АЧХ возникает при Qf > 1/2 на частоте:
\omega_p=\displaystyle\frac{\omega_o}{\sqrt{1-\displaystyle\frac 1 {2\cdot Q_f^2}}}, \omega_p\approx\omega_o при больших Q_f,
и значение коэффициента передачи при этом равно:
K_p=\displaystyle\frac{K_{ВЧ}\cdot Q_f}{\sqrt{1-\displaystyle\frac 1 {4Q_f^2}}} \approx K_{ВЧ}\cdot Q_f, при больших Q_f.
Частота среза по уровню –3дБ равна:
\omega_{-3дБ}=\displaystyle\frac{\omega_o}{\sqrt{(1-\displaystyle\frac 1 {2Q_f^2})+\sqrt{(1-\displaystyle\frac 1 {2Q_f^2})^2-1}}}.
Логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики нормированных фильтров можно проанализировать моделированием с использованием программы LTspice
Характеристика ПФ первого порядка описывается выражением:
T(s)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{K_{РЕЗ}\cdot \omega_o}{Q_f}\cdot s}{s^2+\displaystyle\frac{\omega_o}{Q_f}\cdot s+\omega_o^2},
Полосовой фильтр формирует полосы задерживания сигнала в двух областях частот – слева и справа от полосы пропускания, поэтому степень S в знаменателе выражения удваивается, хотя наклон характеристики в каждой из полос задерживания соответствует фильтру первого порядка, то есть 20 дБ/дек. Передаточную характеристику можно представить в другом виде:
T(s)=\displaystyle\frac{K_{РЕЗ}}{1+Q_f\cdot(\displaystyle\frac s {\omega_o}+\displaystyle\frac{\omega_o} s)},
Где КРЕЗ — коэффициент передачи на центральной частоте w0,
Qf — добротность фильтра.
Заметим, что
Q_f=\displaystyle\frac{\omega_o}{\omega_2-\omega_1},
где \omega_1, \omega_2 – частоты, на которых коэффициент передачи снижается на –3дБ по сравнению с КРЕЗ
Можно показать, что:
\omega_o=\sqrt{\omega_1\cdot \omega_2},
\omega_1=\left [\sqrt{1+\displaystyle\frac 1 {4\cdot Q_f^2}}-\displaystyle\frac 1 {2\cdot Q_f}\right ]\cdot\omega_o,
\omega_2=\left [\sqrt{1+\displaystyle\frac 1 {4\cdot Q_f^2}}+\displaystyle\frac 1 {2\cdot Q_f}\right ]\cdot\omega_o.
Ширина полосы пропускания по уровню –3дБ составляет:
\omega_2-\omega_1=\displaystyle\frac{\omega_o}{Q_f}.
При малых добротностях (Qf < 1/2) знаменатель передаточной функции можно разложить на два сомножителя с вещественными коэффициентами (т.е. передаточная функция может быть представлена в виде произведения двух функций первого порядка), поэтому АЧХ и ФЧХ выглядят достаточно пологими. При Qf >1/2 полюса передаточной функции становятся комплексными. С увеличением Qf полоса пропускания сужается, и характеристика фильтра становится более избирательной.
Для нормированного ПФ передаточная характеристика с переменной добротностью будет описываться выражением
T(s)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{Q_f}\cdot s}{s^2+\displaystyle\frac{1}{Q_f}\cdot s+1}.
Логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики нормированного ПФ можно проанализировать моделированием с использованием программы LTspice
Характеристика ППФ первого порядка описывается выражением:
T(s)=\displaystyle\frac{K_{ПР}\cdot (s^2+ \omega_o^2)}{s^2+\displaystyle\frac{\omega_o}{Q_f}\cdot s+\omega_o^2},
Где КПР – коэффициент передачи на постоянном токе и на высокой частоте,
w0 – центральная частота полосы подавления,
Qf – добротность фильтра.
Полосно-подавляющий фильтр формирует полосы задерживания сигнала в двух областях частот – на границах левой и правой полос пропускания, поэтому степень S в знаменателе выражения удваивается, хотя наклон характеристики в каждой из полос задерживания соответствует фильтру первого порядка, то есть 20 дБ/дек.
Приведенное выше выражение можно записать по-другому:
T(s)=K_{ПР}-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{K_{ПР}\cdot \omega_o}{Q_f}\cdot s}{s^2+\displaystyle\frac{\omega_o}{Q_f}\cdot s+\omega_o^2},
т.е. в виде разности постоянного коэффициента передачи КПР и коэффициента передачи ПФ.
Частота среза по уровню –3дБ такие же, как у полосового фильтра:
\omega_1=\left [\sqrt{1+\displaystyle\frac 1 {4\cdot Q_f^2}}-\displaystyle\frac 1 {2\cdot Q_f}\right ]\cdot\omega_o,
\omega_2=\left [\sqrt{1+\displaystyle\frac 1 {4\cdot Q_f^2}}+\displaystyle\frac 1 {2\cdot Q_f}\right ]\cdot\omega_o.
Ширина полосы пропускания по уровню –3дБ составляет:
\omega_2-\omega_1=\displaystyle\frac{\omega_o}{Q_f}.
Для нормированного ППФ передаточная характеристика с переменной добротностью будет описываться выражением
T(s)=\displaystyle\frac{s^2+1}{s^2+\displaystyle\frac{1}{Q_f}\cdot s+1}=\displaystyle\frac{s^2}{s^2+\displaystyle\frac{1}{Q_f}\cdot s+1}+\displaystyle\frac{1}{s^2+\displaystyle\frac{1}{Q_f}\cdot s+1}.
Таким образом передаточная функция ППФ первого порядка может быть реализована суммированием выходных сигналов ФВЧ второго порядка и ФНЧ второго порядка при подаче на их входы одного и того же входного сигнала.
Логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики нормированного ППФ можно проанализировать моделированием с использованием программы LTspice
Характеристика ФФ второго порядка описывается выражением:
T(s)=\displaystyle\frac{K_{Ф}\cdot (s^2-\displaystyle\frac{\omega_o}{Q_f}\cdot s+\omega_o^2)}{s^2+\displaystyle\frac{\omega_o}{Q_f}\cdot s+\omega_o^2}.
Его можно представить в следующем виде:
T(s)=K_Ф-\displaystyle\frac{2K_{Ф}\cdot (\displaystyle\frac {\omega_o}{Q_f}\cdot s)}{s^2+\displaystyle\frac{\omega_o}{Q_f}\cdot s+\omega_o^2},
т.е. постоянный коэффициент минус удвоенная передаточная характеристика полосового фильтра.
Для нормированного ФФ второго порядка передаточная характеристика с переменной добротностью будет описываться выражением
T(s)=\displaystyle\frac{s^2-\displaystyle\frac{1}{Q_f}\cdot s+1}{s^2+\displaystyle\frac{1}{Q_f}\cdot s+1}
Логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики нормированного ФФ можно проанализировать моделированием с использованием программы LTspice
