Схема интегрального четырехквадрантного перемножителя напряжения представлена на рисунке.
Четырехквадратный перемножитель реализован на параллельно симметричных транзисторных каскадах, которые используют экспоненциальную зависимость тока коллектора транзистора от его базо-эмиттерного напряжения.
Структурно перемножитель состоит из двух параллельно — балансных усилительных каскадов, реализованных на транзисторных парах с близкими значениями эксплуатационных параметров VT1-VT2 и VT9-VT10 соответственно. Режимы работы каскадов стабилизированы парафазными генераторами стабильных токов I ( на транзисторах VT3-VT4, резисторах R4-R7 и диоде VD3) и I1 ( на транзисторах VT11-VT12, резисторах R14-R17 и диоде VD4). Усилительные свойства каскадов линеаризованы резисторами R1 и R2 соответственно. Нагрузкой первого параллельно – балансного каскада (VT1-VT2) является дифференциальный логарифмирующий преобразователь VD1 VD2 с резистором потенциального смещения R3. Нагрузкой второго каскада (VT9-VT10) является четырехтранзисторная перемножающая структура (VT5-VT8) с дифференциальным выходом R12, R13. Цепь из резисторов R8-R11 служит для начальной балансировки входов параллельно-балансных каскадов
Рассмотрим работу парафазного генератора стабильного тока на транзисторах VT3-VT4, резисторах R4-R7 и диоде VD3.
С одной стороны U_{AB}=\displaystyle\frac{E-U_D}{R_4+R_6}\cdot R_6+U_D , где Е — напряжение питания схемы (E1=-E2=E), а UD – прямое падение напряжения на диоде.
С другой стороны U_{AB}=I_{ЭVT4}\cdot R_7+U_{БЭVT4}, тогда
I_{ЭVT4}\cdot R_7+U_{БЭVT4}=\displaystyle\frac{E-U_D}{R_4+R_6}\cdot R_6+U_D,
I_{ЭVT4}=\displaystyle\frac 1 { R_7}\cdot \left [\displaystyle\frac{E-U_D}{R_4+R_6}\cdot R_6+U_D-U_{БЭVT4}\right ],
I_{ЭVT4}=E\cdot \displaystyle\frac{R_6}{(R_4+R_6)\cdot R_7}=const.
Так как ток эмиттера не зависит от напряжения база-эмиттер, то на выходе получим источник тока
I_{KVT4}=\alpha\cdot I_{ЭVT4} \approx I_{ЭVT4}, поскольку \alpha \rightarrow 1 .
Аналогичные выводы можно сделать для транзистора VT3
При условии, что R5=R7, а VT3 и VT4 имеют близкие эксплуатационные параметры, IКVT3 = IКVT4 = I , следовательно, в цепях коллекторов VT3-VT4 формируются два генератора стабильного тока I
Аналогично для второго парафазного генератора на транзисторах VT11-VT12, резисторах R14-R17 и диоде VD4 в цепях коллекторов VT11-VT12 формируются два генератора стабильного тока I1.
Учитывая, что резисторами R8-R11 начальная балансировка входов первого и второго параллельно-балансных каскадов выполнена, то в работающей схеме потенциалы баз VT2 и VT9 можно принять равными нулю. Тогда ток резистора R1 можно определить отношением падения напряжения к номиналу резистора ((U1-UБЭVT1)-(0- UБЭVT2))/R1. Поскольку транзисторы VT1 и VT2 имеют близкие эксплуатационные параметры, их входные напряжения UБЭVT1 и UБЭVT2 эквивалентны, и тогда IR1=U1/R1.
I_{ЭVT1}=I+\displaystyle\frac{U_1}{R_1}\approx I_{KVT1},
I_{ЭVT2}=I-\displaystyle\frac{U_1}{R_1}\approx I_{KVT2},
I_D=I_o\cdot \left[e^{\frac{U_D}{\varphi_t}}-1\right ], где \varphi_t=\displaystyle\frac{k\cdot T}{q} — температурный потенциал p-n перехода.
U_D=\varphi_t\cdot ln\left[\displaystyle\frac{I_D+I_o}{I_o}\right ]\approx \varphi_t\cdot ln\left[\displaystyle\frac{I_D}{I_o}\right ],
здесь ID — прямой ток диода, IO — обратный ток диода, ID >> IO.
Выходное напряжение первого каскада (между коллекторными выводами VT1 и VT2) определяется как разность напряжений на катодах диодов VD1, VD2. Аноды диодов эквипотенциальны, а их токи равны коллекторным токам соответствующих транзисторов.
U_1^’=U_{VD1}-U_{VD2}=\varphi_t\cdot ln\left [\displaystyle\frac{I+\frac{U_1}{R_1}}{I_o}\right ]-\varphi_t\cdot ln\left [\displaystyle\frac{I-\frac{U_1}{R_1}}{I_o}\right ],
U_1^’=\varphi_t\cdot ln\left [\displaystyle\frac{I+\frac{U_1}{R_1}}{I-\frac{U_1}{R_1}}\right ].
Учитывая, что во втором параллельно-балансном каскаде роль транзистора VT1 выполняет транзистор VT10 , а функции транзистора VT2 – транзистор VT9, запишем
I_{ЭVT10}=I_1+\displaystyle\frac{U_2}{R_2}\approx I_{KVT10},
I_{ЭVT9}=I_1-\displaystyle\frac{U_2}{R_2}\approx I_{KVT9}.
Если U1=0, то и U1’ =0 , следовательно, обозначим:
U_{БЭVT5}=U_{БЭVT6}=U_{56},
U_{БЭVT7}=U_{БЭVT8}=U_{78}.
Если U1’ ≠ 0 , то при соблюдении свойств близости эксплуатационных параметров, напряжение U1’ поровну разделится на входные напряжения транзисторов дифференциальных каскадов:
U_{БЭVT5}=U_{56}+\displaystyle\frac{U_1^’} 2,
U_{БЭVT6}=U_{56}-\displaystyle\frac{U_1^’} 2,
U_{БЭVT7}=U_{78}-\displaystyle\frac{U_1^’} 2,
U_{БЭVT8}=U_{78}+\displaystyle\frac{U_1^’} 2.
Поскольку входная характеристика транзистора аналогична прямой ветви ВАХ диода, можно записать, что:
I_{ЭVT5}\approx I_{KVT5}=I_o\cdot e^{\displaystyle\frac{U_{56}+\frac{U_1^’} 2}{\varphi_t}},
I_{ЭVT6}\approx I_{KVT6}=I_o\cdot e^{\displaystyle\frac{U_{56}-\frac{U_1^’} 2}{\varphi_t}},
I_{ЭVT7}\approx I_{KVT7}=I_o\cdot e^{\displaystyle\frac{U_{78}-\frac{U_1^’} 2}{\varphi_t}},
I_{ЭVT8}\approx I_{KVT8}=I_o\cdot e^{\displaystyle\frac{U_{78}+\frac{U_1^’} 2}{\varphi_t}}.
При R12 = R13 = R
U_{ВЫХ}=U_{R_12}-U_{R_13}=R\cdot (I_{KVT5}+I_{KVT7})-R\cdot (I_{KVT6}+I_{KVT8}),
U_{ВЫХ}=R\cdot I_o\cdot (e^{\displaystyle\frac{U_{56}+\frac{U_1^’} 2}{\varphi_t}}+e^{\displaystyle\frac{U_{78}-\frac{U_1^’} 2}{\varphi_t}}-e^{\displaystyle\frac{U_{56}-\frac{U_1^’} 2}{\varphi_t}}-e^{\displaystyle\frac{U_{78}+\frac{U_1^’} 2}{\varphi_t}}),
U_{ВЫХ}=R\cdot I_o\cdot \left [ e^{\frac{U_{56}}{\varphi_t}}\cdot\left (e^{\frac{U_1^’} {2\cdot\varphi_t}}-e^{\frac{-U_1^’} {2\cdot\varphi_t}}\right )+e^{\frac{U_{78}}{\varphi_t}}\cdot\left (e^{\frac{-U_1^’} {2\cdot\varphi_t}}-e^{\frac{U_1^’} {2\cdot\varphi_t}}\right )\right ],
U_{ВЫХ}=R\cdot I_o\cdot \left [\left (e^{\frac{U_{56}}{\varphi_t}}-e^{\frac{U_{78}}{\varphi_t}}\right )\cdot\left (e^{\frac{U_1^’} {2\cdot\varphi_t}}-e^{\frac{-U_1^’} {2\cdot\varphi_t}}\right )\right ].
I_{ЭVT5}+I_{ЭVT6}=I_{KVT9},
I_{ЭVT7}+I_{ЭVT8}=I_{KVT10}.
I_o\cdot e^{\frac 1 {\varphi_t}\cdot\left (U_{56}+\frac{U_1^ ’} 2\right )}+I_o\cdot e^{\frac 1 {\varphi_t}\cdot\left (U_{56}-\frac{U_1^ ’} 2\right )}=I_1-\displaystyle\frac{U_2}{R_2},
I_o\cdot e^{\frac 1 {\varphi_t}\cdot\left (U_{78}+\frac{U_1^ ’} 2\right )}+I_o\cdot e^{\frac 1 {\varphi_t}\cdot\left (U_{78}-\frac{U_1^ ’} 2\right )}=I_1+\displaystyle\frac{U_2}{R_2},
Вычитая из первого уравнения второе, получаем
I_o\cdot \left (e^{\frac{U_1^ ’} {2\cdot\varphi_t}}+e^{\frac{-U_1^ ’} {2\cdot\varphi_t}}\right )\cdot \left (e^{\frac{U_{56}} {\varphi_t}}-e^{\frac{U_{78}} {\varphi_t}}\right )=-\displaystyle\frac{2\cdot U_2}{R_2},
I_o\cdot \left (e^{\frac{U_{56}} {\varphi_t}}-e^{\frac{U_{78}} {\varphi_t}}\right )=-\displaystyle\frac{2\cdot U_2}{R_2\cdot \left (e^{\frac{U_1^ ’} {2\cdot\varphi_t}}+e^{\frac{-U_1^ ’} {2\cdot\varphi_t}}\right )}
Подставляя полученное выражение в формулу для выходного напряжения, имеем
U_{ВЫХ}=-\displaystyle\frac{2\cdot U_2\cdot R\cdot \left (e^{\frac{U_1^ ’} {2\cdot\varphi_t}}-e^{\frac{-U_1^ ’} {2\cdot\varphi_t}}\right )}{R_2\cdot \left (e^{\frac{U_1^ ’} {2\cdot\varphi_t}}+e^{\frac{-U_1^ ’} {2\cdot\varphi_t}}\right )}
Учитывая, что U_1^’=\varphi_t\cdot ln\left [\displaystyle\frac{I+\frac{U_1}{R_1}}{I-\frac{U_1}{R_1}}\right ], получим
e^{\frac{U_1^’}{2\cdot \varphi_t}}=e^{\displaystyle\frac{\varphi_t\cdot ln{\left [\frac{I+\frac{U_1}{R_1}}{I-\frac{U_1}{R_1}}\right ]}}{2\cdot \varphi_t}}=\sqrt{\displaystyle\frac{I+\frac{U_1}{R_1}}{I-\frac{U_1}{R_1}}},
e^{\frac{-U_1^’}{2\cdot \varphi_t}}=e^{\displaystyle\frac{\varphi_t\cdot ln{\left [\frac{I-\frac{U_1}{R_1}}{I+\frac{U_1}{R_1}}\right ]}}{2\cdot \varphi_t}}=\sqrt{\displaystyle\frac{I-\frac{U_1}{R_1}}{I+\frac{U_1}{R_1}}}.
U_{ВЫХ}=-\displaystyle\frac{2\cdot U_2}{R_2}\cdot R\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{I+\frac{U_1}{R_1}}{I-\frac{U_1}{R_1}}}-\sqrt{\displaystyle\frac{I-\frac{U_1}{R_1}}{I+\frac{U_1}{R_1}}}}{\sqrt{\displaystyle\frac{I+\frac{U_1}{R_1}}{I-\frac{U_1}{R_1}}}+\sqrt{\displaystyle\frac{I-\frac{U_1}{R_1}}{I+\frac{U_1}{R_1}}}}=-2\cdot \displaystyle\frac{U_2}{R_2}\cdot R\cdot \displaystyle\frac{U_1}{R_1}\cdot \displaystyle\frac{1}{I}.
U_{ВЫХ}=-\displaystyle\frac{2\cdot R}{R_1\cdot R_2\cdot I}\cdot U_1\cdot U_2.
При дифференциальном снятии выходного сигнала размах напряжения как правило не превышает одного вольта.
Результаты моделирования для исходной принципиальной схемы, приведенной выше.
Для увеличения амплитуды выходного напряжения до согласованного уровня +/- 10 В и устранения дифференциального выхода перемножитель дополняется алгебраическим сумматором.
В результате амплитуда выходного напряжения формируется на согласованном уровне 10В.
В настоящее время выпускаются ИС четырехквадрантных аналоговых перемножителей, имеющие в своем составе кроме перемножающего элемента решающий ОУ:
Такие схемы получили название аналоговых процессоров, т.к. позволяют выполнять различные математические операции второй ступени над мгновенными значениями входных сигналов и являются достаточно широкополосными.
Четырехквадрантный перемножитель на базе аналогового процессора
U_{ВЫХ}=\displaystyle\frac{U_1\cdot U_2}{10 B}
Схема возведения в квадрат на базе аналогового процессора
U_{ВЫХ}=\displaystyle\frac{U_1^2}{10 B}
Схема делителя на базе аналогового процессора
U_{ВЫХ}=\displaystyle\frac{U_2}{U_1}\cdot 10 B
В зоне входных напряжений делителя ±1В результаты не соответствуют значениям математической операции, поскольку выходное напряжение делителя находится в зоне физического ограничения.
Схема извлечения квадратного корня на базе аналогового процессора
U_{ВЫХ}=\sqrt{U_1\cdot 10 B}
Для однозначности решения, что корень из положительной величины является положительной величиной, схема может дополняться диодом D1, однозначно определяющим полярность выхода.