Линейное изменяющееся во времени напряжение является одним из образцовых тестовых измерительных сигналов и имеет две разновидности:
1) пилообразное напряжение;
2) треугольное напряжение.
Пилообразное напряжение характеризуется тем, что на одном из фронтов измерение является линейной функцией времени, на втором фронте характер изменения измерения произвольный.
У треугольного напряжения оба фронта изменения имеют линейный характер зависимости от времени.
Пилообразное напряжение характеризуется:
1) Начальным значением U0;
2) Размахом Um.
3) Коэффициентом нелинейности ξ
\xi =\displaystyle\frac {\displaystyle\left.\frac {dU} {dt}\right|_{t\to0}-\displaystyle\left.\frac {dU} {dt}\right|_{t\to t_р}}{\displaystyle\left.\frac {dU} {dt}\right|_{t\to0}}\times 100 %
Качество линейного напряжения оценивается коэффициентом нелинейности , который определяется как отношение разности производных от выходного напряжения по времени в начале и в конце прямого хода к производной в начале прямого хода выходного напряжения. Коэффициент нелинейности выражается в процентах и может быть как положительным (форма напряжения выпуклая), так и отрицательным (форма напряжения вогнутая). Нулевому значению коэффициента нелинейности соответствует строго линейная зависимость напряжения от времени на интервале прямого хода.
Повышение требования к линейному напряжению на интервале рабочего хода определяется требуемой точностью измеряемых процессов (горизонтальная развёртка луча осциллографа).
Генератор пилообразного напряжения
Существуют различные способы построения таких генераторов, однако в настоящее время такие устройства строятся на основе ОУ усилителей положительных и отрицательных ОС.
А1 – операционный усилитель;
R1, R2-цепь отрицательной обратной связи;
R3, R4 –цепь положительной обратной связи
C – времязадающий конденсатор;
VT и Rб – элементы ключа на биполярном транзисторе;
Uo – напряжение, определяющее начальное смещение выхода
Uз – напряжение заряда конденсатора;
Uвх — импульсы синхронизирующего входного напряжения.
Привысоком уровне входного напряжения ключевой транзистор VT открыт и насыщен, обеспечивая пренебрежимо малое напряжение на конденсаторе. Начальное значение напряжения на выходе при этом определится как
U_C=U^+=0 \Rightarrow
U_{ВЫХ} = — \displaystyle\frac{R2}{R1} \times U_0
По первому закону Кирхгофа i_C=i_{R3} + i_{R4} — i_{ВХ}^+
пренебрежимо мал, а токи резисторов в соответствии с законом Ома
i_C= \displaystyle\frac{U_з-U^+}{R3} + \displaystyle\frac{U_{ВЫХ}-U^+}{R4}
ОУ работает в линейном режиме, поэтому его входы эквипотенциальны
U^+=U^-=U_C, i_C=C\displaystyle\frac{dU_C}{dt},тогда
C\displaystyle\frac {d U_C} {dt}=\displaystyle\frac {U_З} {R3}-\displaystyle\frac {U_C} {R3}+\displaystyle\frac {U_{ВЫХ}} {R4}-\displaystyle\frac {U_C} {R4}
В общем случае напряжение инвертирующего входа ОУ можно выразить через выходное
U_C = U^+ = U^- = \displaystyle\frac {U_0\cdot R2+U_{ВЫХ}\cdot R1} {R1+R2}
Откуда U_{ВЫХ} = (1+\displaystyle\frac {R2} {R1}) U_C-\displaystyle\frac{R2}{R1} U_0
Подставляя в дифференциальное уравнение выражение для Uвых , имеем
C\displaystyle\frac {d U_C} {dt}=\displaystyle\frac {U_З} {R3}-\displaystyle\frac {U_C} {R3}+\displaystyle\frac {U_C} {R4}+\displaystyle\frac {R2U_C} {R1R4}-\displaystyle\frac {R2U_0} {R1R4}-\displaystyle\frac {U_C} {R4}
C\displaystyle\frac {d U_C} {dt}=U_C\displaystyle\left(\frac {R2} {R1\cdot R4}-\displaystyle\frac 1 {R3}\right)+\displaystyle\frac {U_З} {R3}-U_0\displaystyle\frac {R2} {R1\cdot R4}-
Для того, чтобы уравнение имело линейное решение коэффициент при Uc должен быть равен нулю, что предопределяет необходимое соотношение между номиналами резисторов обратных связей
\displaystyle\left(\frac {R2} {R1\cdot R4}-\displaystyle\frac 1 {R3}\right)=0, или \displaystyle\frac {R2} {R1\cdot R4}=\displaystyle\frac 1 {R3}, или \displaystyle\frac {R2} {R1}=\displaystyle\frac {R4} {R3}
При выполнении этого условия и учитывая, что \displaystyle\frac {R2} {R1\cdot R4}=\displaystyle\frac 1 {R3}
C\displaystyle\frac {d U_C} {dt}=\displaystyle\frac {U_З} {R3}-\displaystyle\frac {U_0} {R3}
Решая дифференциальное уравнение, имеем.
U_C(t)=\displaystyle\frac 1 {R3C}\cdot (U_з-U_0)\cdot t+U_C(0), где U_C(0)=0, a R3C=\displaystyle\tau
Отсюда для нормальной работы схемы необходимо, чтобы Uз было больше Uo. Выходное напряжение при этом также изменяется по линейному закону
U_{ВЫХ}(t)=\displaystyle\frac 1 \tau K^+(U_З-U_0)t+K^-U_0
K^+=\displaystyle\left(1+\frac {R2} {R1} \right)
K^-=\displaystyle-\frac {R2} {R1}
При работе генератора транзисторный ключ периодически разряжает ёмкость, обеспечивает периодичность выходного сигнала, длительность открытого состояния ключа, определяемая длительностью входного открывающего импульса, с одной стороны, определяет время обратного хода пилы, с другой стороны, её длительность должна быть достаточна для полного разряда ёмкости. t_{ox}\ge 3СR_{кл}, где R_{кл} — остаточное сопротивление замкнутого ключа.
t_{пр} = T — t_{ox} = T — t_и
Считая в первом приближении ключ VT идеальным, определим начальное состояния схемы.
U_{ВЫХ}(0)=-\displaystyle\frac {R2} {R1}\times U_0
При размыкании ключа начинается процесс изменения напряжений, характер которого определён соотношением номиналов.
U_{ВЫХ}(t)=\displaystyle\left(\frac {U_з-U_0} {R3C} \right)\times t\times\displaystyle\left(1+\frac{R2} {R1} \right)-\displaystyle\frac {R2} {R1}\times U_0, откуда
U(t_{пр})\le U_{ВЫХ}^{m+} \Rightarrow t_{пр}\le\displaystyle\frac {U_{ВЫХ}^{m+}+\displaystyle\frac{R2}{R1}U_0} {\displaystyle\frac{U_З-U_0}{R3C}\times\left(1+\displaystyle\frac{R2}{R1}\right)}