Приведенные выше соотношения соответствовали «нормированным» фильтрам с коэффициентом передачи в полосе пропускания 0 дБ и граничной частотой 1 рад/с. На практике такая ситуация может возникнуть чисто теоретически. Необходимо адаптировать передаточную функцию к требуемым значениям коэффициента передачи и частоты среза.
Масштабирование коэффициента передачи. Масштабирование коэффициента передачи в полосе пропускания производится умножением передаточной функции на требуемый коэффициент.
Масштабирование частоты. Масштабирование частоты производится заменой s на s/wМ, где wM — требуемая частота. При этом передаточная функция «растягивается» или «сжимается» таким образом, что то, что происходило с ней при w = 1 рад/с, теперь происходит при w/wM = l (т.е., когда w = wM).
Например определим коэффициенты передаточной функции ФНЧ Баттерворта 3 порядка с коэффициентом усиления 5 и граничной частотой 10 Гц.
По таблице определяем, что передаточная функция нормированного ФНЧ имеет вид
T(s)=\displaystyle\frac 1 {(s+1)\cdot (s^2+s+1)}
Ниже приведен пример моделирования частотных характеристик нормированного фильтра Баттерворта 3 порядка с использованием программы LTspice
Учитывая, что в примере wM=2∙π ∙10 = 62,8 подставляем вместо S S/62,8 и умножаем на К = 5. Передаточная функция приобретает вид:
T(s)=5\cdot\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{s}{62,8}+1}\cdot \displaystyle\frac{1}{(\displaystyle\frac{s}{62,8})^2+\displaystyle\frac{s}{62,8}+1}, или
T(s)=\displaystyle\frac{314}{s+62,8}\cdot \displaystyle\frac{3944}{s^2+62,8\cdot s+3944}
Для проверки правильности преобразования произведем моделирование в LTspice.
Можно сформировать модель фильтра для произвольных значений параметров К и Fгр, которые задаются в виде параметров.
Передаточные функции других типов фильтров, например, фильтров высоких частот, полосовых, полосно-подавляющих могут быть получены формальным преобразованием передаточной функции низкочастотного фильтра.
Преобразование ФНЧ в ФВЧ.
Передаточную функцию ФВЧ можно получить из функции ФНЧ следующей подстановкой — в передаточную функцию вместо S подставить wВЧ/S. При этом мы получим передаточную функцию ФВЧ, имеющего такой же коэффициент передачи на wВЧ, что и ФНЧ на wНЧ.
Коэффициент передачи также учитывается, умножением на него числителя передаточной функции.
Например определим коэффициенты передаточной функции ФВЧ Баттерворта 3 порядка с коэффициентом усиления 3 и граничной частотой 5 Гц.
Учитывая, что в примере wM=2∙π ∙5 = 31,4 подставляем вместо S 31,4/S и умножаем на К=3. Передаточная функция приобретает вид:
T(s)=3\cdot\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{31,4}{s}+1}\cdot \displaystyle\frac{1}{\left (\displaystyle\frac{31,4}{s}\right )^2+\displaystyle\frac{31,4}{s}+1}, или
T(s)=\displaystyle\frac{3\cdot s}{s+31,4}\cdot \displaystyle\frac{s^2}{s^2+31,4\cdot s+986}
Для проверки правильности преобразования произведем моделирование в LTspice.
Можно сформировать модель фильтра для произвольных значений параметров К и Fгр, которые задаются в виде параметров.
Преобразование в передаточную функцию ПФ.
Передаточную функцию ПФ с граничными частотами w1=2∙π∙fн – нижняя граничная частота и w2=2∙π∙fв – верхняя граничная частота (fв>fн) можно получить из передаточной функции ФНЧ, применяя следующее преобразование:
Вместо S подставляется \displaystyle \frac{S^2+w_o^2}{B\cdot S},
где w0 — центральная частота полосы пропускания.
w_o=\sqrt{w_1\cdot w_2},
т.е. w1 и w2 расположены симметрично относительно w0.
В есть ширина полосы пропускания ПФ, причем В = w2 – w1
Преобразование фильтра нижних частот в полосовой фильтр удваивает его порядок, поскольку в ПФ необходимо сформировать два участка задерживания.
Полученный фильтр будет иметь такой же коэффициент передачи в полосе пропускания на частотах w1 и w2, как и ФНЧ на wНЧ.
Коэффициент передачи также учитывается, умножением на него числителя передаточной функции.
Пример преобразования передаточной функции ФНЧ Баттерворта 3 порядка в передаточную функцию ПФ с произвольными значениями К, fн и fв представлен моделированием в LTspice
Преобразование передаточной функции ФНЧ в передаточную функцию ППФ.
Передаточную функцию ППФ с граничными частотами w1=2∙π∙fн – нижняя граничная частота и w2=2∙π∙fв – верхняя граничная частота (fв>fн) можно получить из передаточной функции ФНЧ, применяя следующее преобразование.
Вместо S подставляется \displaystyle \frac{B\cdot S}{S^2+w_o^2},
где w0 — центральная частота полосы задерживания.
w_o=\sqrt{w_1\cdot w_2} ,
т.е. w1 и w2 расположены симметрично относительно w0.
В есть ширина полосы задерживания ППФ, причем В= w2 – w1
Преобразование фильтра нижних частот в полосно-подавляющий фильтр удваивает его порядок, поскольку в ППФ необходимо сформировать два участка задерживания.
Полученный фильтр будет иметь такой же коэффициент передачи в полосе пропускания на частотах w1 и w2, как и ФНЧ на wНЧ.
Коэффициент передачи также учитывается, умножением на него числителя передаточной функции.
Пример преобразования передаточной функции ФНЧ Баттерворта 3 порядка в передаточную функцию ППФ с произвольными значениями К, fн и fв представлен моделированием
Особенности преобразования передаточных функций фильтров Бесселя
Передаточные функции нормированных фильтров Бесселя характерны тем, что в отличие от фильтров Баттерворта и Чебышева для них расчетная частота и частота, на которой ослабление коэффициента передачи достигает -3 дб, не равны, и степень этого неравенства зависит от порядка фильтра и приведена в таблице значением величины «Частота -3 дб» .
Как видно из графиков, расчетная частота фильтра Бесселя 3 порядка, и частота, на которой достигается ослабление -3 дб отличаются в 1,756 раза, что является справочным параметром таблицы.
Таким образом, при определении коэффициентов передаточных функций фильтров Бесселя значение w(-3дб):
При формировании ФНЧ Бесселя расчетную граничную частоту необходимо разделить на значение w(-3дб) для данного порядка фильтра.
При формировании ФВЧ Бесселя расчетную граничную частоту необходимо умножить на значение w(-3дб) для данного порядка фильтра.
При формировании ПФ Бесселя расчетную ширину полосы пропускания В = w2 – w1 необходимо разделить на значение w(-3дб) для данного порядка фильтра.
При формировании ППФ Бесселя расчетную ширину полосы задерживания В = w2 – w1 необходимо умножить на значение w(-3дб) для данного порядка фильтра.
Для ФНЧ Бесселя 3 порядка, подставляя S=S/1.756 имеем:
