При практической реализации фильтров обычно на одном активном элементе формируются схемы фильтров первого или второго порядка. Более высокий порядок достигается последовательным соединением звеньев. Это обусловлено, с одной стороны, сложностью построения схемы и подбора номиналов пассивных компонентов, с другой стороны – необходимостью исследования устойчивости схемы с активным элементом при использовании большого числа реактивностей и, соответственно, больших формируемых фазовых сдвигах сигналов.
В этом разделе приведены схемы фильтров первого и второго порядка. Схемы сгруппированы по типам фильтров – ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ППФ. Отметим, что под малым значением Q подразумевается Qf<2, среднее Q соотвествует значениям 2<Qf<20, большое Q означает Qf>20.
Схемы фильтров низких частот
ФНЧ первого порядка
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{K\cdot \omega_o}{s+\omega_o},
Коэффициент передачи в полосе пропускания, К:
инвертирующий вариант (а): K=-\displaystyle\frac{R_1}{R_2},
неинвертирующий вариант (в):K=1+\displaystyle\frac{R_3}{R_2}.
Частота среза \omega_o для обеих схем:
\omega_o=\displaystyle\frac 1{R_1\cdot C_1}, или f_0=\displaystyle\frac{\omega_o}{2\cdot\pi}=\displaystyle\frac 1 {2\cdot\pi\cdot R_1\cdot C_1}
По существу, эти схемы представляют собой усилители напряжения на одном ОУ с дополнительным конденсатором, включенным для получения требуемой АЧХ первого порядка. Неинвертирующая схема имеет высокое входное сопротивление во всей полосе пропускания и не нагружает выход предыдущего каскада.
Схемы фильтров низких частот второго порядка
ФНЧ Саллена-Кея .
Общие свойства | Достоинства | Недостатки |
Фильтр второго порядка. Малые и средние значения добротности. Неинвертирующий. | Высокое входное сопротивление. Относительно небольшой диапазон номинальных значений элементов. | Относительно высокая чувствительность к разбросу значений элементов. Ограниченные возможности реализации фильтров с К>1. Легко настраиваются только два параметра w0 и Qf. |
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}\cdot\left(1+\displaystyle\frac{R_4}{R_3}\right)}{s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_1}-\displaystyle\frac{R_4}{R_2\cdot R_3\cdot C_2}\right)\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}},
Параметры схемы:
K=1+\displaystyle\frac{R_4}{R_3},
\omega_o=2\cdot\pi\cdot f_0=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}},
Q_f=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{R_2\cdot C_2}{R_1\cdot C_1}}+\sqrt{\displaystyle\frac{R_1\cdot C_2}{R_2\cdot C_1}}-\displaystyle\frac{R_4}{R_3}\cdot \sqrt{\displaystyle\frac{R_1\cdot C_1}{R_2\cdot C_2}}}.
ФНЧ с многопетлевой обратной связью
Общие свойства | Достоинства | Недостатки |
Фильтр второго порядка. Инвертирующий. Малые и средние значения добротности. | Можно реализовать фильтры со значением К, меньшим единицы. Относительно небольшая чувствительность к отклонениям значений элементов. | Большой диапазон номиналов элементов. Сложность настройки
|
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_3\cdot C_1\cdot C_2}}{s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}+\displaystyle\frac{1}{R_3}\right)\cdot \displaystyle\frac{1}{C_1}\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot R_3\cdot C_1\cdot C_2}}.
Параметры схемы:
K=-\displaystyle\frac{R_1}{R_2},
\omega_o=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{R_2\cdot R_3\cdot C_1\cdot C_2}},
Q_f=\displaystyle\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{C_1}{C_2}}}{\sqrt{\displaystyle\frac{R_3}{R_2}}+\sqrt{\displaystyle\frac{R_2}{R_3}}+\sqrt{\displaystyle\frac{R_2\cdot R_3}{R_1^2}}}.
ФНЧ с нулевым смещением.
Общие свойства | Достоинства | Недостатки |
Фильтр второго порядка. Неинвертирующий. Малые и средние значения добротности. | Простой расчет номиналов пассивных элементов. | Единичный коэффициент передачи. Не бесконечное входное и ненулевое выходное сопротивления (необходимость схемотехнического согласования). |
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}}{s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{C_1}+\displaystyle\frac{1}{C_2}\right)\cdot\displaystyle\frac{1}{R_2}\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}},
Коэффициент передачи: K=1
Частота полюса:
\omega_o=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}},
Добротность:
Q_f=\displaystyle\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{R_2}{R_1}}}{\sqrt{\displaystyle\frac{C_1}{C_2}}+\sqrt{\displaystyle\frac{C_2}{C_1}}}.
Выходное сопротивление равно R1.
Схемы фильтров высоких частот
ФВЧ первого порядка
Схемы таких фильтров представляют собой обычные инвертирующий и неинвертирующий усилители, дополненные разделительным конденсатором для ослабления нижних частот.
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{K\cdot s}{s+\omega_o},
Параметры схемы:
коэффициент передачи:
неинвертирующий вариант (в): K=1+\displaystyle\frac{R_3}{R_2},
неинвертирующий вариант (а): K=-\displaystyle\frac{R_2}{R_1};
частота полюса:
\omega_o=\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_1}.
ФВЧ Саллена-Кея
Общие свойства | Достоинства | Недостатки |
Фильтр второго порядка. Неинвертирующий. Малые и средние значения добротности. | Относительно небольшой диапазон номиналов элементов. | Относительно высокая чувствительность Qf к отклонениям значений элементов. Не удается перекрыть весь диапазон значений K, w0 и Qf. |
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{\left(1+\displaystyle\frac{R_4}{R_3}\right)\cdot s^2}{s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_2}-\displaystyle\frac{R_4}{R_1\cdot R_3\cdot C_1}\right)\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}}.
Параметры схемы:
K=1+\displaystyle\frac{R_4}{R_3},
\omega_o=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}},
Q_f=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{R_1\cdot C_2}{R_2\cdot C_1}}+\sqrt{\displaystyle\frac{R_1\cdot C_1}{R_2\cdot C_2}}-\displaystyle\frac{R_4}{R_3}\cdot \sqrt{\displaystyle\frac{R_2\cdot C_2}{R_1\cdot C_1}}}.
ФВЧ с многопетлевой обратной связью.
Общие свойства | Достоинства | Недостатки |
Фильтр второго порядка. Инвертирующий. Малые и средние значения добротности. | Можно реализовать фильтры со значением К, меньшим единицы. Относительно небольшая чувствительнсть к отклонениям значений элементов. | Большой диапазон номиналов элементов. Сложность настройки Коэффициент передачи равен отношению емкостей двух конденсаторов, менее стабильному, чес отношение резисторов. Нужны три конденсатора. |
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{-\left(\displaystyle\frac{C_1}{C_2}\right)\cdot s^2}{s^2+\left(\displaystyle\frac{C_1}{C_2\cdot C_3}+\displaystyle\frac{1}{C_2}+\displaystyle\frac{1}{C_3}\right)\cdot\displaystyle\frac{1}{R_2}\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_2\cdot C_3}}
Параметры схемы:
коэффициент передачи: |K|=\displaystyle\frac{C_1}{C_2}
частота полюса: \omega_o=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{R_1\cdot R_2\cdot C_2\cdot C_3}}
добротность: Q_f=\displaystyle\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{R_2}{R_1}}}{\displaystyle\frac{C_1}{\sqrt{C_2\cdot C_3}}+\sqrt{\displaystyle\frac{C_3}{C_2}}+\sqrt{\displaystyle\frac{C_2}{C_3}}}
Схемы полосовых фильтров
ПФ с вещественными полюсами.
Общие свойства | Достоинства | Недостатки |
Инветртирующий. Реализует передаточную характеристику с действительными значениями полюсов. | Простой расчет номиналов элементов. Реализуются коэффициенты передачи как больше, так и меньше единицы. | Добротность реализуемой передаточной характеристики всегда меньше ½. |
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_2}\cdot s}{\left(s+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_1}\right)\cdot \left(s+\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_2}\right) }.
Частоты полюсов равны:
\omega_1=\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_1} рад/с,
\omega_2=\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_2} рад/с.
Схема этого ПФ предтавляет собой обычный инвертирующий усилитель с двумя конденсатороами, обеспечивающими спад коэффициента усиления на низких и высоких частотах. Эту схему лучше всего использовать как широкополосный фильтр, в котором нижняя и верхняя частоты среза отличаются минимум на декаду. В этом случае частоты полюсов будут практически равны частотам среза по уровню –3дБ.
ПФ с многопетлевой обратной связью.
Общие свойства | Достоинства | Недостатки |
Инветртирующий. | Введение положительной ОС позволяет получать значения Q вплоть до 20. Невысокая чувствительность к отклонениям значений элементов от номиналов. Широкий диапазон номиналов элементов можно уменьшить введением положительной ОС. | Коэффициент передачи и добротность должны удовлетворять условию |K|<2Q2. |
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_2}\cdot s}{s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{C_1}+\displaystyle\frac{1}{C_2}\right)\cdot \displaystyle\frac{1}{R_3}\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_3\cdot C_1\cdot C_2}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}\right)}.
Параметры схемы:
|K|=\displaystyle\frac{R_3}{R_1}\cdot \displaystyle\frac{C_1}{C_1+C_2},
\omega_o=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{R_3\cdot C_1\cdot C_2}\cdot \left (\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}\right )},
Q_f=\displaystyle\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{R_3}{R_2}\cdot \left(1+\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\right)}}{\sqrt{\displaystyle\frac{C_1}{C_2}}+\sqrt{\displaystyle\frac{C_2}{C_1}}}.
Схемы полосно-подавляющих фильтров
ППФ с многопетлевой обратной связью.
Общие свойства | Достоинства | Недостатки |
Неинвертирующий. | Применяется один ОУ. Требуются только два конденсатора. | Необходимо точное согласование элементов. Малые значения добротности. Сложность настройки. Ослаюляет сигналы в полосе пропускания. |
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{R_4}{R_3+R_4}\cdot\left[s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_2}-\displaystyle\frac{R_3}{R_4}\cdot \displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_1}\right)\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}\right]}{s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_2}\right)\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}}.
Средняя частота подавления:
\omega_o=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}}.
Коэффициент передачи в полосе пропускания:
K=\displaystyle\frac{R_4}{R_3+R_4}.
Добротность:
Q_f=\displaystyle\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{R_2}{R_1}}}{\sqrt{\displaystyle\frac{C_1}{C_2}}+\sqrt{\displaystyle\frac{C_2}{C_1}}}.
Для получения нулевой передачи (бесконечного ослабления) на частоте \omega_o, должно выполняться соотношение:
\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_2}=\displaystyle\frac{R_3}{R_4}\cdot \displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_1}.