Рассмотрим схемотехническую реализацию ФНЧ Баттерворта 3 порядка.
Фильтр реализуется путем последовательного соединения звеньев первого и второго порядка.
Первое звено- ФНЧ первого порядка может реализоваться по инвертирующей или неинвертирующей схемам для получения передаточной функции
T(s)=\displaystyle\frac{314}{62.8+s}
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{K\cdot \omega_o}{s+\omega_o},
Коэффициент передачи в полосе пропускания, К:
инвертирующий вариант (а): K=-\displaystyle\frac{R_1}{R_2},
неинвертирующий вариант (в):K=1+\displaystyle\frac{R_3}{R_2}.
Частота среза \omega_o для обеих схем:
\omega_o=\displaystyle\frac 1{R_1\cdot C_1}, или f_0=\displaystyle\frac{\omega_o}{2\cdot\pi}=\displaystyle\frac 1 {2\cdot\pi\cdot R_1\cdot C_1}.
Для инвертирующей схемы:
T(s)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_1}}{\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_1}+s}=\displaystyle\frac{314}{62.8+s}.
Тогда 1/R2C =62.8, а 1/R1C=314. Задавшись С= 1 мкФ = 10-6 Ф имеем
R2= 15923 Ом, из ряда Е24 это соответствует 16 кОм,
R1= 3184 Ом, чти соответствует в ряде Е24 номиналу 3.3 кОм.
Подставляем номиналы элементов в схему.
Реализация второго звена на базе ФНЧ с нулевым смещением.
Передаточная функция:
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}}{s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{C_1}+\displaystyle\frac{1}{C_2}\right)\cdot\displaystyle\frac{1}{R_2}\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}}=\displaystyle\frac{3944}{3944+62.8\cdot s+s^2}.
тогда (1/С1+1/С2)*(1/R2)=62.8, а
1/(R1R2C1C2) = 3944. Задавшись С1=С2= 1мкФ = 10-6 Ф имеем
R2 = 31847 Ом, или в соответствии с рядом Е24 33 кОм, а
R1 = 7683 Ом, или в соответствии с рядом Е24 7.5 кОм
Подставляем номиналы элементов в схему
Разница фазовых характеристик обусловлена применением инвертирующей схемы ФНЧ первого порядка, однако это не влияет на совпадение АЧХ передаточной функции и реализованной схемы ФНЧ.
Если реализацию проводить на базе неинвертирующей схемы ФНЧ 1-го порядка то совпадут и фазовые характеристики.
Для нее 1/R1C1=62.8, а (1+R3/R2) = 314/62.8 = 5
Тогда из ряда Е24 R1= 16 кОм. R2 = 2 кОм, R3 = 8.2 кОм
При использовании звена с нулевым смещением следует помнить, что для формирования передаточной характеристики с параметрами, соответствующими расчетам, необходимо, чтобы источник входного сигнала для такого звена имел пренебрежимо малое (нулевое) выходное сопротивление, а нагрузка звена обладала очень большим (бесконечным) входным сопротивлением. Для обеспечения этого условия в схемы фильтров могут устанавливаться конверторы сопротивления – операционные усилители с цепью единичной отрицательной обратной связи (узел на операционном усилителе U3 на выходе схемотехнической реализации фильтра).
Реализация второго звена ФНЧ по схеме Саллена-Кея.
Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}\cdot\left(1+\displaystyle\frac{R_4}{R_3}\right)}{s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_1}-\displaystyle\frac{R_4}{R_2\cdot R_3\cdot C_2}\right)\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}},
Следует помнить, что по такой схеме реализуются ФНЧ, у которых коэффициент числителя больше или равен свободному члену знаменателя. В нашем случае эти коэффициенты равны, из чего следует, что (1+R4/R3)=1, или R4 = 0 или R3=∞. То есть R3 из схемы можно исключить, что, в свою очередь, приведет к трансформации коэффициентов передаточной функции.
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}}{s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot C_1}+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot C_1}\right)\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}}=\displaystyle\frac{3944}{3944+62.8\cdot s+s^2}.
Тогда \displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot C_2}=3944, а \displaystyle\frac{1}{C_1}\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}\right)=62.8 .
Полагаем R1=R2 =R, а C1= 1мкФ
Откуда 2/R=62.8∙C1 или R= 31400 Ом или из ряда Е24 33кОм.
Тогда C_2=\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_2\cdot C_1\cdot 3944}=2.328\cdot 10^{-7} Ф или из ряда Е6 0.22 мкФ
Подставляем данные собираем схему.
Реализация второго звена ФНЧ по схеме с многопетлевой обратной связью.
2Передаточная функция:
T(s)=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{R_1\cdot R_3\cdot C_1\cdot C_2}}{s^2+\left(\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}+\displaystyle\frac{1}{R_3}\right)\cdot \displaystyle\frac{1}{C_1}\cdot s+\displaystyle\frac{1}{R_2\cdot R_3\cdot C_1\cdot C_2}}.
Коэффициент передачи схемы определяется отношением номиналов резисторов R2 и R1.
K=-\displaystyle\frac{R_2}{R_1},
Предположив, что R1 = R2 = R3 =R, а С1= 1 мкФ имеем:
3/RC1 = 62.8 или R = 47770 Ом или выбирая из ряда Е24 R1 = R2 = R3 = 47 кОм.
Тогда C_2=\displaystyle\frac{1}{R\cdot R\cdot C_1\cdot 3944}=1.1478\cdot 10^{-7} Ф из ряда Е6 0.1 мкФ.
