Активные фильтры представляют собой устройства, предназначенные для формирования желаемого вида амплитудно-частотной характеристики коэффициента передачи сигнального тракта. Термин «активные» подчеркивает, что элементной базой для создания фильтров являются активные элементы – как правило, операционные усилители.
Область частот входного сигнала, в которой коэффициент передачи фильтра можно считать условно постоянным, называется полосой пропускания (ПП) фильтра.
Область частот, в которой при изменении частоты модуль коэффициента передачи изменяется со скоростью, определяемой порядком фильтра, называется полосой задерживания (ПЗ) фильтра.
Взаимное расположение полос пропускания и задерживания на частотной оси сигнала определяет вид фильтра. Существуют несколько типовых видов фильтров.
Фильтры низких частот (ФНЧ)
характеризуются расположением полосы пропускания слева, а полосы задерживания справа на частотной оси.
Фильтры высоких частот (ФВЧ)
характеризуются расположением полосы пропускания справа а полосы задерживания слева на частотной оси.
Полосовые фильтры (ПФ)
характеризуются расположением полосы пропускания, слева и справа ограниченной полосами задерживания на частотной оси.
Учитывая, что активные элементы фильтров (операционные усилители) обладают коэффициентом усиления с собственными частотными свойствами, следует помнить, что на высоких частотах модуль коэффициента передачи в любом случае будет уменьшаться. Поэтому в области высоких частот активный ФВЧ характеризуется уменьшением модуля коэффициента передачи, определяемым свойствами примененного операционного усилителя. Поэтому активный ФВЧ, строго говоря, можно рассматривать как полосовой фильтр.
Полосно-подавляющие фильтры (ППФ)
характеризуются расположением полосы задерживания, слева и справа ограниченной полосами пропускания на частотной оси.
Активный фильтр низких частот (ФНЧ) первого порядка
Активный ФНЧ 1 порядка формируется на базе схемы инвертирующего усилителя добавлением конденсатора параллельно резистору обратной связи R2.
Реактивное сопротивление конденсатора обратно пропорционально частоте сигнала.
Z_C(j\omega)=\displaystyle\frac 1 {j\omega C}
Запишем уравнение первого закона Кирхгофа для узла инвертирующего входа, учитывая гипотезу идеальности ОУ (iвх≈0)
I_{R_1}=I_{R_2}+I_C
Выразим токи элементов в соответствии с законом Ома для участка цепи
\displaystyle\frac{U_{вх}-U^-}{R_1}=\displaystyle\frac{U^{-}-U_{вых}}{R_2}+\displaystyle\frac{U^{-}-U_{вых}}{\displaystyle\frac{1}{j\omega C}}
Согласно гипотезе идеальности ОУ U— =U+=0, тогда
\displaystyle\frac{U_{вх}}{R_1}=\displaystyle\frac{-U_{вых}}{R_2}-U_{вых}\cdot j\omega C
\displaystyle\frac{U_{вх}}{R_1}=\displaystyle\frac{-U_{вых}}{R_2}\cdot(1+ j\omega C\cdot R_2)
K_U(j\omega)=\displaystyle\frac{U_{вых}}{U_{вх}}=\displaystyle-\frac{R_2}{R_1}\cdot \displaystyle\frac{1}{1+j\omega C\cdot R_2}
Таким образом, коэффициент передачи схемы – комплексное выражение, модуль которого зависит от частоты. Проанализируем поведение модуля и фазы коэффициента передачи в частотной области.
| |K_U| | \varphi | |
| \omega\rightarrow 0 | \displaystyle\frac{R_2}{R_1} | -\pi |
| \omega=\displaystyle\frac 1 {C\cdot R_2} | \displaystyle\frac{R_2}{R_1\cdot\sqrt 2} | -\displaystyle\frac{5\pi}{4} |
| \omega\rightarrow\infty | \rightarrow 0 | -\displaystyle\frac{3\pi}{2} |
Зависимость модуля коэффициента передачи от частоты, называемая амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), имеет аналитическое выражение:
|K_U(\omega)|=\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\cdot C\cdot R_2)^2}}
K_U^{дБ}=20\cdot lg|K_U(\omega)|
Зависимость модуля коэффициента передачи в логарифмических единицах — децибелах от частоты в логарифмическом масштабе называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). Асимптотическая ЛАЧХ представляет собой ломаную линию с изломом в точке, соответствующей частоте среза fср=ωср/2∙π=1/(2∙π∙R1∙C).
Реальная ЛАЧХ отличается от асимптотической, причем максимальное отклонение наблюдается на частоте среза и составляет -3 дБ, что в нормальном масштабе соответствует уменьшению коэффициента передачи в √2 раз. Коэффициент передачи в полосе пропускания составляет 20lg(R2/R1). Наклон ЛАЧХ в полосе задерживания определяется как -20дБ/дек, что поясняется следующими соотношениями.
\omega\cdot C\cdot R_2 = 10 \Rightarrow |K_U|=\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+100}}\approx\displaystyle\frac{R_2}{10\cdot R_1}.
\omega\cdot C\cdot R_2 = 100 \Rightarrow |K_U|=\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+10000}}\approx\displaystyle\frac{R_2}{100\cdot R_1}.
Таким образом, десятикратное изменение частоты соответствует десятикратному изменению модуля коэффициента усиления.
Работа ФНЧ иллюстрируется моделью в программе LTspice
Работа ФНЧ при различных значениях сопротивления в цепи обратной связи иллюстрируется моделью в программе LTspice
Работа ФНЧ при различных значениях емкости конденсатора в цепи обратной связи иллюстрируется моделью в программе LTspice
Активный фильтр высоких частот (ФВЧ) первого порядка
Активный ФВЧ 1 порядка формируется на базе схемы инвертирующего усилителя добавлением конденсатора последовательно с входным резистором R1.
Реактивное сопротивление конденсатора обратно пропорционально частот сигнала.
Z_C(j\omega)=\displaystyle\frac 1 {j\omega C}
Запишем уравнение первого закона Кирхгофа для узла инвертирующего входа, учитывая гипотезу идеальности ОУ (iвх≈0)
I_{R1,C}=I_{R2}
\displaystyle\frac{U_{вх}-U^-}{R_1+\displaystyle\frac{1}{j\omega C}}=\displaystyle\frac{U^{-}-U_{вых}}{R_2}
Согласно гипотезе идеальности ОУ U— =U+=0, тогда
\displaystyle\frac{U_{вх}}{R_1+\displaystyle\frac{1}{j\omega C}}=\displaystyle\frac{-U_{вых}}{R_2}
\displaystyle\frac{U_{вх}\cdot j\omega C}{R_1\cdot j\omega C+1}=\displaystyle\frac{-U_{вых}}{R_2}
K_U=\displaystyle\frac{U_{вых}}{U_{вх}}=-\displaystyle\frac{j\omega CR_2}{R_1\cdot j\omega C+1}
K_U(j\omega)=-\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\cdot\displaystyle\frac{j\omega\cdot C\cdot R_1}{1+j\omega\cdot C\cdot R_1}
Таким образом, коэффициент передачи схемы – комплексное выражение, модуль которого зависит от частоты. Проанализируем поведение модуля и фазы коэффициента передачи в частотной области.
| |K_U| | \varphi | |
| \omega\rightarrow 0 | \rightarrow 0 | -\displaystyle\frac{\pi}{2} |
| \omega=\displaystyle\frac 1 {C\cdot R_1} | \displaystyle\frac{R_2}{R_1\cdot\sqrt 2} | -\displaystyle\frac{3\pi}{4} |
| \omega\rightarrow\infty | \displaystyle\frac{R_2}{R_1} | -\pi |
Зависимость модуля коэффициента передачи от частоты, называемая амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), имеет аналитическое выражение:
|K_U(\omega)|=\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\cdot\displaystyle\frac{\omega\cdot C\cdot R_1}{\sqrt{1+(\omega\cdot C\cdot R_1)^2}}
K_U^{дБ}=20\cdot lg|K_U(\omega)|
Зависимость модуля коэффициента передачи в логарифмических единицах — децибелах от частоты в логарифмическом масштабе называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). Асимптотическая ЛАЧХ представляет собой ломаную линию с изломом в точке, соответствующей частоте среза fср=ωср/2∙π=1/(2∙π∙R2∙C).
Реальная ЛАЧХ отличается от асимптотической, причем максимальное отклонение наблюдается на частоте среза и составляет -3 дБ, что в нормальном масштабе соответствует уменьшению коэффициента передачи в √2 раз. Коэффициент передачи в полосе пропускания составляет 20lg(R2/R1). Наклон ЛАЧХ в полосе задерживания определяется как +20дБ/дек, что поясняется следующими соотношениями.
\omega\cdot C\cdot R_1 = 0.1 \Rightarrow |K_U|=\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\cdot\displaystyle\frac{0.1}{\sqrt{1+0.01}}\approx 0.1\displaystyle\frac{R_2}{R_1}.
\omega\cdot C\cdot R_1 = 0.01 \Rightarrow |K_U|=\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\cdot\displaystyle\frac{0.01}{\sqrt{1+0.0001}}\approx 0.01\displaystyle\frac{R_2}{R_1}.
Таким образом, десятикратное изменение частоты соответствует десятикратному изменению коэффициента усиления.
Работа ФВЧ иллюстрируется моделью в программе LTspice
Работа ФНЧ при различных значениях сопротивления входного резистора иллюстрируется моделью в программе LTspice
В области высоких частот на свойства активного фильтра начинают оказывать влияние свойства примененного операционного усилителя, поэтому наблюдается уменьшение модуля коэффициента передачи.
Работа ФВЧ при различных значениях емкости конденсатора иллюстрируется моделью в программе LTspice
Полосовой фильтр (ПФ) первого порядка
Полосовой фильтр первого порядка можно реализовать на базе схемы инвертирующего усилителя заменой входного резистора на последовательное соединение цепи R1C1, как в ФВЧ, и заменой резистора обратной связи на параллельное соединение цепи R2C2, как в ФНЧ.
Записывая уравнение первого закона Кирхгофа для узла инвертирующего входа, имеем:
I_{R1,C1}=I_{R2}+I_{C2}+I_{вх}
Используя гипотезу идеальности ОУ, аналогично ФВЧ и ФНЧ можно записать:
\displaystyle\frac{U_{вх}\cdot j\omega C_1}{R_1\cdot j\omega C_1+1}=\displaystyle\frac{-U_{вых}}{R_2}-U_{вых}j\omega C_2,
откуда
K_U(j\omega)=-\displaystyle\frac{R_2}{R_1}\cdot\displaystyle\frac{j\omega C_1R_1}{1+j\omega C_1R_1}\cdot\displaystyle\frac{1}{1+j\omega C_2R_2}
\tau_1=C_1R_1\Longrightarrow f_1=\displaystyle\frac{1}{2\pi\tau_1}
\tau_2=C_2R_2\Longrightarrow f_2=\displaystyle\frac{1}{2\pi\tau_2}
f_1\lt f_2\Longrightarrow \tau_1\gt\tau_2
\displaystyle\frac{f_2}{f_1}\ge 3\div 10.
В случае f2<f1 постоянные времени вступают в состояние противоречия, а частотная характеристика становится асимптотически неопределима.
Работа полосового фильтра (ПФ) иллюстрируется моделью в программе LTspice.
Работа ПФ при различных значениях емкости конденсатора во входной цепи иллюстрируется моделью в программе LTspice
Работа ПФ при различных значениях емкости конденсатора в цепи обратной связи иллюстрируется моделью в программе LTspice
Активный ФНЧ второго порядка
Схема ФНЧ второго порядка реализуется на основе схемы ФНЧ первого порядка заменой входного резистора на Т образное апериодическое звено R11 C1 R12.
При этом выходной ток этого звена (ток резистора R12) можно определить, используя гипотезу идеальности ОУ (входной ток и напряжение инвертирующего входа ОУ близки к нулю). При этом R12 и C1 оказываются включенными параллельно и напряжение в точке А соединения элементов можно определить как:
U_A=U_{вх}\cdot\displaystyle\frac{R_{12}||\displaystyle\frac 1 {j\omega C_1}}{R_{11}+R_{12}||\displaystyle\frac 1 {j\omega C_1}},
R_{12}||\displaystyle\frac 1 {j\omega C_1}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{R_{12}}{j\omega C_1}}{R_{12}+\displaystyle\frac{1}{j\omega C_1}}=\displaystyle\frac{R_{12}}{1+j\omega C_1R_{12}},
U_A=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{R_{12}}{1+j\omega C_1R_{12}}}{R_{11}+\displaystyle\frac{R_{12}}{1+j\omega C_1R_{12}}}\cdot U_{вх}=U_{вх}\cdot\displaystyle\frac{R_{12}}{R_{11}+j\omega C_1R_{11}R_{12}+R_{12}}
делим числитель и знаменатель на (R_{11}+R_{12}), тогда
U_{A}=U_{вх}\cdot\displaystyle\frac{R_{12}}{R_{11}+R_{12}}\cdot\displaystyle\frac{1}{1+j\omega C_1\cdot\displaystyle\frac{R_{11}\cdot R_{12}}{R_{11}+R_{12}}}
U_{A}=U_{вх}\cdot\displaystyle\frac{R_{12}}{R_{11}+R_{12}}\cdot\displaystyle\frac{1}{1+j\omega C_1\cdot R_{11}\parallel R_{12}}
Для узла инвертирующего входа запишем первый закон Кирхгофа
I_{R12}=I_{R2}+I_{C2}+I_{вх}
\displaystyle\frac{U_A}{R_{12}}=-\displaystyle\frac{U_{вых}}{R_2}-U_{вых}\cdot j\omega C_2
\displaystyle\frac{U_{вх}}{R_{11}+R_{12}}\cdot\displaystyle\frac{1}{j\omega C_1\cdot R_{11}\parallel R_{12}}=-\displaystyle\frac{U_{вых}}{R_2}-U_{вых}\cdot j\omega C_2,
K_U(j\omega)=\displaystyle\frac{U_{вых}}{U_{вх}}=-\displaystyle \frac{R_2}{R_{11}+R_{12}}\cdot\displaystyle\frac{1}{1+j\omega C_1\cdot R_{11}\parallel R_{12}}\cdot\displaystyle\frac{1}{1+ j\omega C_2\cdot R_2},
K_U(j\omega)=-K_0\cdot\displaystyle\frac{1}{1+j\omega \tau_1}\cdot\displaystyle\frac{1}{1+ j\omega\tau_2}.
K_0=R_2/(R_{11}+R_{12})
\tau_1=C_1\cdot R_{11}\parallel R_{12}
\tau_2=C_2\cdot R_2
| \tau_1=\tau_2=\tau_0 | |K_U| | \varphi |
| \omega\rightarrow 0 | K_0 | -\pi |
| \omega=\displaystyle\frac 1 {\tau_0} | \displaystyle\frac{K_0}{2} | -\displaystyle\frac{3\pi}{2} |
| \omega\rightarrow\infty | \rightarrow 0 | -2\pi |
\omega\tau_0 = 10 \Rightarrow |K_U|=\displaystyle\frac{K_0}{\sqrt{1+100}\cdot\sqrt{1+100}}\approx\displaystyle\frac{K_0}{100}.
\omega\tau_0 = 100 \Rightarrow |K_U|=\displaystyle\frac{K_0}{\sqrt{1+10000}\cdot \sqrt{1+10000}}\approx\displaystyle\frac{K_0}{10000}.
У фильтра 2-го порядка увеличивается наклон модуля коэффициента передачи в полосе задерживания. Десятикратное увеличение частоты сигнала соответствует сто кратному изменению модуля коэффициента передачи. При второй степени частоты в знаменателе наклон составляет -40\displaystyle\frac{дБ}{дек}
Дальнейшее увеличение порядка фильтра и, следовательно, степени полинома в знаменателе, аналитически выраженной частотной зависимости коэффициента передачи, определяют кратное увеличение скорости нарастания (спадания). Результирующая скорость определяется произведением наклона фильтра 1-го порядка (-20\displaystyle\frac{дБ}{дек}) на количество звеньев в передаточной характеристике фильтра (порядок фильтра).
Работа ФНЧ второго порядка иллюстрируется моделью в программе LTspice
Наличие двух постоянных времени (или более) в фильтрах высоких порядков позволяет реализовывать различный тип поведения АЧХ фильтра вблизи частоты среза.
Типовыми являются:
Фильтр Баттерворта – фильтр с максимально плоской амплитудной характеристикой.
Фильтр Бесселя – фильтр с максимально линейной ФЧХ.
Фильтры Чебышева – с максимальным ослаблением сигнала в районе частоты среза.
Работа ФНЧ второго порядка, реализующих АЧХ типов Баттерворта, Бесселя и Чебышева иллюстрируется моделями в программе LTspice
Следует отметить, что проектирование высокопорядковых фильтров является сложной технической задачей, и производится в соответствии с особыми методиками.
Фазовращатель нулевого порядка
Реализуется на базе схемы инвертирующего усилителя с равными номиналами R входного резистора и резистора в цепи обратной связи, добавлением в цепь неинвертирующего входа ОУ апериодического звена R1 C.
В соответствии с первым законом Кирхгофа (ПЗК) и законом Ома для участка цепи, при условии использования гипотезы идеальности ОУ
\displaystyle\frac{U_{вх}-U^-}{R}=\displaystyle\frac{U^{-}-U_{вых}}{R}, откуда U^{-}=\displaystyle\frac{U_{вх}+U_{вых}}{2} .
Для узла неинвертирующего входа
I_{R1}=I_C+I_{вх}
\displaystyle\frac{U_{вх}-U^+}{R_1}=j\omega C\cdot U^+,
U^+=U_{вх}\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{j\omega\cdot C}}{R_1+\displaystyle\frac{1}{j\omega\cdot C}}=\displaystyle\frac{U_{вх}}{1+j\omega\cdot R_1\cdot C}.
U^+=U^{-}\Longrightarrow \displaystyle\frac{U_{вх}+U_{вых}}{2}=\displaystyle\frac{U_{вх}}{1+j\omega\cdot R_1\cdot C}.
(U_{вх}+U_{вых}))\cdot (1+j\omega\cdot R_1\cdot C)=2\cdot U_{вх}, или
U_{вых}\cdot (1+j\omega\cdot R_1\cdot C)=U_{вх}\cdot (1-j\omega\cdot R_1\cdot C), тогда
K_U(j\omega)=\displaystyle\frac{U_{вых}}{U_{вх}}=\displaystyle\frac{1-j\omega\cdot R_1\cdot C}{1+j\omega\cdot R_1\cdot C}.
| |K_U| | \varphi | |
| \omega\rightarrow 0 | 1 | 0 |
| \omega=\displaystyle\frac 1 {C\cdot R_1} | 1 | -\displaystyle\frac{\pi}{2} |
| \omega\rightarrow\infty | 1 | -\pi |
Таким образом, схема реализует фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного, не воздействуя на модуль коэффициента передачи.
Работа фазовращателя нулевого порядка при различных значениях номинала резистора R1 иллюстрируется моделью в программе LTspice.
Следует обратить внимание, что шкала измерения модуля коэффициента передачи проградуирована в милидецибелах.