Распределение носителей в разрешенных зонах • ТЕХНИЧЕСКАЯ ШКОЛА

В полупроводниковом материале подвижные носители тока распределены неравномерно по энергетическим уровням. В целом распределение носителей подчиняется законам квантовой статистики Ферми–Дирака. При этом вероятность нахождения электрона на энергетическом уровне с энергией W определяется функцией Ферми:

$M_n(W)=\displaystyle\frac{1}{e^{\displaystyle\frac{W-W_F}{kT}}+1}$

где k – постоянная Больцмана, k = 1,38×10^–23Дж/K = = 0,86×10^–4эВ/K;
W_F – энергия, соответствующая уровню Ферми;
Т – абсолютная температура.

При температурах, приближающихся к абсолютному нулю, функция принимает вид ломаной линии, что вытекает из принципа минимума энергии, когда все энергетические уровни с меньшими значениями энергии должны быть заняты электронами. По мере роста абсолютной температуры характер функции Ферми сглаживается, допуская вероятность появления электронов на внешних энергетических уровнях.

Энергия W_F для полупроводника имеет двоякий физический смысл. С одной стороны, ее можно рассматривать как максимальную энергию, которую способны иметь электроны в данном материале при температурах близких к абсолютному нулю. С другой стороны, W_F можно рассматривать, как энергетический уровень, вероятность занятия которого электроном при температуре близкой к абсолютному нулю, составляет 1/2 .

Учитывая, что вероятность появления дырки для полупроводника обратна вероятности появления электрона получим:

$M_p(W)=1-M_n(W)$

Поскольку в чистом полупроводнике концентрации свободных электронов и дырок равны, можно сделать вывод, что в чистом полупроводнике положение уровня Ферми симметрично относительно валентной зоны и зоны проводимости.

Функция Ферми имеет физический смысл лишь для зон с разрешенным значением энергии, поэтому бессмысленно ожидание подвижных носителей с энергиями соответствующими запрещенной зоне полупроводника. Внутри запрещенной зоны ее применение недопустимо.

Концентрация подвижных носителей в чистом полупроводнике может быть определена как интеграл плотности вероятности:

$n_i=A\cdot T^{3/2}\cdot e^{-\displaystyle\frac{W_П-W_F}{k\cdot T}}$

$p_i=A\cdot T^{3/2}\cdot e^{-\displaystyle\frac{W_F-W_В}{k\cdot T}}$

где A – множитель, содержащий физические константы и масштабные коэффициенты; k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.

Аналитическое выражение концентрации подвижных носителей позволяет сформулировать 3 вывода:

1. Произведение концентраций подвижных носителей зависит от ширины запрещенной зоны проводника:

$n_i\cdot p_i=A^2\cdot T^3\cdot e^{-\displaystyle\frac{W_П-W_В}{k\cdot T}}=A^2\cdot T^3\cdot e^{-\displaystyle\frac{\Delta W_З}{k\cdot T}}=n_i^2=p_i^2=N^2$

2. В полупроводнике n-типа, где концентрация носителей – свободных электронов n_n определяется концентрацией атомов донорной примеси N_Д, а в запрещенной зоне появляется энергетический уровень W_Д, происходит смещение уровня Ферми в сторону зоны проводимости.

$n_n=N_Д$

$p_n=\displaystyle\frac{N^2}{N_Д}$

Физическое уменьшение концентрации дырок в донорном полупроводнике может быть объяснено их скоротечной рекомбинацией при подавляющей концентрации свободных электронов.

3. В полупроводнике p-типа, где концентрация носителей – дырок p_p определяется концентрацией атомов акцепторной примеси N_А, а в запрещенной зоне появляется энергетический уровень W_А, происходит смещение уровня Ферми в сторону валентной зоны.

$p_p=N_А$

$n_p=\displaystyle\frac{N^2}{N_А}$

Физическое уменьшение концентрации свободных электронов в акцепторном полупроводнике может быть объяснено их скоротечной рекомбинацией при подавляющей концентрации дырок.

Следует помнить, что смещение уровня Ферми пропорционально концентрации внесенной примеси.

В особо сильно легированных полупроводниках уровень Ферми может попадать внутрь зоны проводимости для полупроводника n-типа или внутрь валентной зоны для полупроводника p-типа, такие полупроводники называются вырожденными.

Время жизни носителей зарядов

Если в полупроводниковом материале путем внешнего воздействия (облучения) создана избыточная концентрация подвижных носителей одного из знаков, то за счет рекомбинации, она будет уменьшаться до равновесного состояния с течением времени. При этом скорость изменения концентрации определяется характеристическими постоянными τ_n и τ_p_, физически соответствующими интервалу времени, в течение которого избыточная концентрация уменьшится в е раз.

$\Delta n(t)=\Delta n(0)\cdot e^{-\displaystyle\frac t{\tau_n}}$

$\Delta p(t)=\Delta p(0)\cdot e^{-\displaystyle\frac t{\tau_p}}$

где τ_n и τ_p– среднее время жизни носителей.

Обычно эти постоянные имеют τ_n и τ_p составляют 10^–6 10^–8 с. Быстродействие полупроводниковых приборов, как правило, связано с величинами этих постоянных и увеличивается по мере сокращения их длительности. Уменьшение времен жизни подвижных носителей осуществляется специальным легированием полупроводникового материала, при котором в качестве примеси используются атомы химического элемента, называемые ловушками, для чего в полупроводниковый материал принудительно вносят примесь атомов никеля или золота. Физический механизм действия ловушек заключается в том, что примесные атомы имеют энергетические уровни внутри запрещенной зоны полупроводника, при этом они способны захватывать подвижный носитель и на некоторое время задерживать его положение в объеме полупроводникового кристалла. Задержка подвижного носителя резко увеличивает интенсивность рекомбинации, поэтому ловушки выполняют роль центров рекомбинации. Применение примесей-ловушек позволяет уменьшить время жизни подвижных носителей до уровня 10^–9 10^–11с.